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2018年公务员考试行测:一元二次函数最值问题

公考资料网 2018/04/13 16:40:20

2018年公务员考试行测:一元二次函数最值问题


在行政职业能力测验的数学运算部分中,有一类题目的问法比较固定,题干会出现“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼。这类题目统称为“极值问题”或者“最值问题”。这类题目的整体思想就是“等”、“均”、“接近”。

  

  1、什么是极限思想

  

  所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。如一条船顺水而下用时t1,逆流而上用时t2,则当水速增大时,t1+t2如何变化?当水速增大时,t1会变小,而t2会变大,但是,t1与t2,哪个变化大不知道,所以t1+t2如何变化也不清楚。此时如果改用极限的思想来思考的话就会比较简单,假设水速增大到无限大,则此船肯定回不来了,即t2无限大,此时虽然t1变小,但相对于t2而言,t1的变化幅度要小得多。所以,t1+t2变大了。

  

  2、适用极限思想的题的题型特征

  

  题干或问法中出现最大或最小、最多或最少、至多或至少。

  

  3、极限思想的核心:凑、均、等、接近

  

  一元二次函数的基本形式是 ,(当b>0时,y有最小值;当b<0时,y有最大值),当 时,y取到最值,将x带入函数式求得具体的最值。该函数在数学运算中的常见考法如下:

  

  例1:某期刊以每本2元的价格发行,可发行10万份。若该报刊单价每提高0.2元,发行量将减少5000份,则该报刊可能的最大销售收入为多少万元?

  

  A.24 B.23.5 C.23 D.22.5

  

  分析:报刊销售收入=报刊单价×发行量,假设单价提高x次,报刊的销售总额收入为y,则y=(2+0.2x)×(10-0.5x)。将该函数化简成上述的一般形式后,再套用时,求得最值。显然化简过程复杂,计算量较大。建议采用“均”的思想。

  

  【答案】D。解析:将y=(2+0.2x)×(10-0.5x)中x的系数化简成1,则原式变为y=0.2×0.5×(10+x)×(20-x),观察发现10+x与20-x的和(10+x)+(20-x)=30为定值。题目求y的最大值,也就是求10+x与20-x乘积的最大值,根据上面结论,和一定时,要想乘积最大,则这两个数相等,即10+x=20-x=30/2=15时,此时x=5,y=0.1×15×15=22.5。选择D选项。

  

  例2:某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加1人,每人的单价就降低10元。当旅行团的人数是多少时,旅行社可获得最大营业额?

  

  A.55 B.25 C.34 D.60

  

  【答案】A。解析:营业额=单价×人数,假设一共增加x人,营业额为y元,则y=(800-10x)×(30+x),化简成y=10(80-x)×(30+x)。观察发现80-x与30+x的和为定值110,所以当80-x=30+x=110/2=55时,y取到最大值,此时旅行团人数为55人。选择A选项。


  例3:一厂家生产销售某新型节能产品,产品生产成本是168元,销售定价为238元,一位买家向该厂家预定了120件产品,并提出如果产品售价每降低2元,就多订购8件。则该厂家在这笔交易中所获得的最大利润是( )元。

  

  A.17920 B.13920 C.10000 D.8400

  

  【答案】C。解析:总利润=单利润×销售量,原利润=238-168=70元,假设一共降低x次售价,总利润为y元,则y=(70-2x)×(120+8x),化简成y=16(35-x)×(15+x)。观察发现35-x与15+x的和为定值50,所以当35-x=15+x=50/2=25时,y取到最大值,此时y=16×25×25=10000。选择C选项。

  

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